Růžena Beinhauerová se narodila v Ostravě, ale celý svůj sportovní život spojila s Brnem.
Studovala na Masarykově univerzitě a po studiích trvale působila jako středoškolská a vysokoškolská pedagožka tělesné výchovy v Brně. Již při studiích se věnovala lyžování, sjezdovému i běhu na lyžích. Byla nejlepší československou lyžařkou 30. a 40. let 20. století, na lyžích tehdy neměla v rámci ČSR konkurenci.
V letech 1937–1946 byla osmkrát mistryní republiky (šestkrát ve sjezdu a dvakrát v běhu na lyžích). Celkem získala jedenáct mistrovských titulů a její časy se daly srovnávat s výsledky mužů. Pamětníci vzpomínají na jeden ze závodů v Tatrách, kdy v prvním kole slalomu zajela lépe než všichni její kolegové. Reprezentovala ČSR ve sjezdovém lyžování na OH 1936 v německém Garmisch-Partenkirchenu a na MS v roce 1938 ve švýcarském Engelbergu.

Během druhé světové války byly možnosti lyžování v Protektorátu minimální (obyvatelstvo povinně odevzdávalo veškeré lyžařské vybavení německé armádě), a tak se Růžena Beinhauerová začala věnovat jiným sportům – i v nich byla úspěšná. Hrála na špičkové úrovni basketbal za brněnský A. C. Arsenal Husovice a zkusila si také veslování.

Na konci války bylo Růženě Beinhauerové třiatřicet let. Jako lyžařka se ještě účastnila zimních olympijských her v St. Moritz (1948), na mistrovství republiky roku 1950 získala druhé místo. Téhož roku však měla vážný úraz, zlomeninu pravé nohy a ramene, po kterém jí zůstaly trvalé následky, takže musela milovaného lyžování zanechat. Zůstala u něj alespoň jako trenérka lyžařského oddílu VŠ Brno. Současně se začala naplno věnovat veslování.

V různých disciplínách a různých posádkách získala celkem 24 titulů mistryně republiky. Ženská osma ČVK Brno (později Sokol Brno I a Spartak ZJŠ), kterou vždy strokovala, zvítězila v deseti ročnících Pražských Primátorek. Svoji závodní činnost ukončila v roce 1957 v 45 letech. Po skončení závodní činnosti se věnovala vedle svého zaměstnání trenérské práci ve veslařském klubu. Vychovala desítky úspěšných veslařek, které získaly rovněž tituly mistryň republiky a některé reprezentovaly republiku na evropských soutěžích. Za její sportovní činnost jí byl udělen titul Zasloužilý mistr sportu.